Kariyerine 1999 yılında Demirbank T.A.Ş.’de Yönetici Adayı olarak başlayan Veysi Küçük, 2001-2003 yılları arasında HSBC’de yönetmen olarak, 2004-2007 yılları arasında Evyap A.Ş. İş Planlama ve Bütçe Kontrol Departmanı’nda uzman olarak çalıştı. Akkök Holding’e 2007 yılında Finans Direktörlüğü’nde Müdür Yardımcısı olarak katılan Veysi Küçük, 2008-2012 yılları arasında Akkök Grup Şirketlerinden Ak-Al Tekstil’de sırasıyla Muhasebe, Finans, Bütçe & Stratejik Planlama ve Yatırımcı İlişkilerinden Sorumlu Genel Müdür Yardımcısı görevlerinde bulundu. 2012 yılında Akkök Holding’e Yeni Projeler Direktörü olarak atanan Küçük, 2013-2015 yılları arasında Akkök Holding Stratejik Planlama ve İş Geliştirme Direktörü olarak görev yaptı. 2015-2023 yılları arasında Akcoat Genel Müdürü olarak görev alan Küçük, Ocak 2023 itibariyle Akkök Holding CFO’su olarak görevine devam etmektedir.
Veysi Küçük, İstanbul Üniversitesi İngilizce İşletme bölümünden 1999 yılında mezun olmuş ve Yeditepe Üniversitesi’nde Yöneticiler için İşletme yüksek lisansını 2022 yılında tamamlamıştır.